Stanovení charakteristické pevnosti konstrukcí z betonu na základě zkoušek

Statistické metody se uplatní především při odhadu charakteristické hodnoty pevnosti betonu, v některých případech se mohou použít také při přímém odhadu návrhové hodnoty.
Obecné postupy hodnocení a navrhování konstrukcí z libovolného materiálu na základě zkoušek uvádí příloha D normy ČSN EN 1990 [1], která je v souladu s dokumenty ČSN ISO 13822 [3], ISO 12491 [4] i ISO 2394 [5]. Postupy pro stanovení charakteristické hodnoty pevnosti betonu v konstrukcích na základě zkoušek uvádí nový evropský dokument EN 13791 [2], který navazuje na ČSN EN 206-1 [6] pro specifikaci vlastností betonu na základě zkoušek (kontrola shody). Postupy podle ČSN EN 1990 [1] a EN 13791 [2] se však navzájem liší a mohou vést k rozdílným odhadům charakteristické hodnoty. Ukazuje se, že empirické vztahy uvedené v novém předpisu EN 13791 [2] vedou zpravidla k vyšším hodnotám charakteristické pevnosti a jsou tedy na nebezpečné straně.

Obecné zásady statistického hodnocení
Při hodnocení výsledků zkoušek se má porovnat chování zkušebních vzorků a způsoby porušení s teoretickými předpoklady. Případnou významnou odchylku od předpokladů je potřebné vysvětlit například prostřednictvím doplňujících zkoušek nebo změnou teoretického modelu.
Podle přílohy D normy ČSN EN 1990 [1] se výsledky zkoušek mají hodnotit na základě statistických metod s využitím dostupných znalostí o typu rozdělení a jeho příslušných parametrech. Metody uvedené v příloze D se mají použít pouze při splnění následujících podmínek:

• statistické údaje (včetně apriorních informací) jsou převzaty ze známých základních souborů, které jsou dostatečně homogenní;
• je k dispozici dostatečný počet pozorování.

Rozlišují se tři hlavní kategorie hodnocení výsledků zkoušek:

• pokud se provádí pouze jedna zkouška (nebo velmi málo zkoušek), není možné klasické statistické hodnocení. Za předpokladu, že se použijí rozsáhlé apriorní informace spojené s hypotézou o relativních stupních důležitosti těchto informací a výsledků zkoušek, lze hodnocení pojmout jako statistické (hodnocení s využitím tzv. Bayesovských postupů je popsáno například v dokumentu ISO 12491 [4], materiálech JCSS [7] a v příručce [8]);
• pokud se pro odhad vlastnosti provádí řada zkoušek, je možné klasické statistické hodnocení. Pro běžné případy uvádí příloha D ČSN EN 1990 [1] příklady. I v tomto postupu je však možné využít apriorní (předchozí) informace o vlastnosti, v běžných případech to však bude méně potřebné než ve výše uvedeném případě;
• pokud se z důvodu kalibrace modelu a s ním spojeným jedním nebo více parametry provádí řada zkoušek, je možné klasické statistické hodnocení.

Výsledek hodnocení zkoušky se má považovat za platný pouze pro charakteristiky zatížení uvažované při zkouškách. Pokud se výsledky extrapolují tak, aby se pokryly další návrhové parametry a zatížení, mají se použít doplňující informace z předchozích zkoušek nebo informace založené na teoretickém podkladě.

Stanovení charakteristické hodnoty pevnosti betonu
Předpovědní metoda podle ČSN EN 1990
Příloha D ČSN EN 1990 [1] poskytuje obecné pokyny pro hodnocení jedné nezávislé vlastnosti X, která může představovat:

• odolnost výrobku;
• vlastnost, která přispívá k odolnosti výrobku.

Další text se omezuje na důležitou praktickou úlohu, kdy vyšetřovanou materiálovou vlastností X je pevnost betonu v tlaku fc. Má se stanovit její charakteristická hodnota definovaná jako 5% kvantil. Uvažuje se, že základní soubor má normální rozdělení. Důležitý pojem kvantil náhodné veličiny se podrobně popisuje v příručce [8] nebo ve skriptech [9]. Vztahy uvedené v příloze D ČSN EN 1990 [1] vycházejí z předpokladu, že vyšetřovaná veličina má normální nebo lognormální rozdělení. Přijetí lognormálního rozdělení, viz například příručku [8] nebo skripta [9], má tu výhodu, že na rozdíl od normálního rozdělení se vyloučí výskyt záporných hodnot. Dále se předpokládá, že neexistuje apriorní znalost průměru pevnosti fc. Průměr se stanoví z výsledků zkoušek podle vztahu:

(1)

kde fm(n),is je výběrový průměr odhadnutý z výsledků zkoušek fis,i a sumace se provádí přes výsledky všech n zkoušek. V příspěvku se používají symboly, značky a zkratky definované v EN 13791 [2]. Rozlišují se dva případy:

• případ ?V neznámý?, kdy neexistuje apriorní znalost variačního koeficientu pevnosti betonu;
• případ ?V známý?, kdy je variační koeficient znám.

V případě ?V neznámý? se variační koeficient vlastnosti odhadne výběrovým variačním koeficientem:

V = s/f_m(n),is (2)

kde s je výběrová směrodatná odchylka stanovená z výsledků zkoušek:

(3)

Ukazuje se, že často může být výhodnější použít případ ?V známý? spolu s konzervativním horním odhadem V, než aplikovat pravidla uvedená pro případ ?V neznámý?. Pokud je V neznámý a odhaduje se výběrovým variačním koeficientem, nemá se uvažovat menší než 0,10. V souladu s přílohou D normy ČSN EN 1990 [1] (viz ale také příručku [10] nebo dokumenty ISO 12491 [4] a ISO 2394 [5]) může být charakteristická hodnota pevnosti betonu v tlaku fck,is stanovená z výsledků n zkoušek předpovědní metodou:

f_ck,is = f_m(n),is (1 - k_n . V) (4)

kde kn označuje součinitel z tabulky 1 závislý na počtu zkoušek n, pravděpodobnosti p, které odpovídá hledaný kvantil, a obecně také na šikmosti základního souboru α (pro normální rozdělení je však α = 0).

n	1	2	3	4	5	6	8	10	20	30	∞
V známý	2,31	2,01	1,89	1,83	1,80	1,77	1,74	1,72	1,68	1,67	1,64
V neznámý	-	-	3,37	2,63	2,33	2,18	2,00	1,92	1,76	1,73	1,64

? Tab. 1. Hodnoty součinitele kn pro 5% kvantil

Poznamenejme, že zatímco norma ISO 12491 [4] označuje postup podle vztahu (4) s uvážením součinitelů kn v tabulce 1 jako předpovědní metodu, ČSN EN 1990 [1] používá termín Bayesovský postup s vágním apriorním rozdělením. Charakteristická hodnota fck,is daná vztahem (4) může být podle ČSN EN 1990 [1] dále ovlivněna návrhovou hodnotou převodního součinitele hd, který se použije například pro převod pevnosti získané z jádrových vývrtů na pevnost z normových těles. V předložené studii se součinitel pro zjednodušení neuvažuje. Koeficient kn uvedený v tabulce 1 pro známý variační koeficient V se určí ze vztahu:

k_n = -u_0,05 (1 + 1/n)^0,5 (5)

kde u0,05 je kvantil normované normální veličiny odpovídající pravděpodobnosti 0,05. V případě, že variační koeficient V je neznámý, použije se výběrový variační koeficient (2) a součinitel kn se stanoví v souladu s ISO 12491 [4] jako:

k_n = -t_0,05 (1 + 1/n)^0,5 (6)

kde t0,05 je kvantil Studentova t-rozdělení odpovídající pravděpodobnosti 0,05. Studentovo t-rozdělení je popsáno například ve skriptech [11]. V příručce [10] se ukazuje, že předpovědní metoda v ČSN EN 1990 [1] odpovídá přibližně pokryvné metodě s konfidencí 0,75 popsané v ISO 12491 [4]. Vztahy (5) a (6) lze použít i při odhadu kvantilů odpovídajícím pravděpodobnostem různým než 0,05, například pravděpodobnosti 0,001 u návrhové hodnoty materiálových vlastností.
Je potřeba zdůraznit, že při hodnocení existujících konstrukcí se obvykle předpokládá statistická nezávislost výsledků zkoušek. V případě kontroly shody při výrobě betonu popisované v ČSN EN 206-1 [6] se může při hodnocení zvážitt statistická závislost mezi výsledky po sobě jdoucích zkoušek, jak je naznačeno například v publikacích [12,13].

Stanovení charakteristické hodnoty pokryvnou metodou
Základním pojmem odhadu kvantilu z výběru o rozsahu n pokryvnou metodou je konfidence γ, tj. pravděpodobnost (zpravidla 0,75, 0,90 nebo 0,95), se kterou stanovený odhad pokrývá hledaný kvantil (proto se mluví o pokryvné metodě, anglicky covering method). Odhad xp,cover dolního kvantilu xp je pokryvnou metodou stanoven tak, že platí:

P (xp,cover < xp) = γ (7)

Odhad je tedy menší (na bezpečné straně) než neznámý kvantil xp s pravděpodobností γ. Jestliže směrodatná odchylka σ základního souboru je známá z předchozí zkušenosti, odhad xp,cover dolního p-kvantilu je dán vztahem:

x_p,cover = m - κ_p σ (8)

kde součinitel κp se pro známou směrodatnou odchylku σ odvozuje ze vztahu [17]:

(9)

Jestliže je směrodatná odchylka základního souboru σ neznámá, uvažuje se výběrová směrodatná odchylka s:

x_p,cover = m - k_p s (10)

kde koeficient kp se určí ze vztahu [18]:

(11)

kde tnc,γ je kvantil necentrálního Studentova t-rozdělení odpovídající pravděpodobnosti 0,05 stanovený pro n - 1 stupňů volnosti a parametr necentrality -u0,05√n. Pro zjednodušení praktických aplikací jsou hodnoty součinitelů κp a kp uvedeny v tabulce 2.
Koeficienty odhadu κp = κ (α, p, γ, n) a kp = k (α, p, γ, n) závisí na typu rozdělení, šikmosti α, na pravděpodobnosti p odpovídající hledanému kvantilu xp, na konfidenci γ a na rozsahu výběru n. Znalost konfidence γ, že odhad xp,cover bude na bezpečné straně od skutečné hodnoty xp, je největší předností klasické pokryvné metody.

	n	3	4	5	6	8	10	20	30	∞
γ = 0,75	σ známá	2,03	1,98	1,95	1,92	1,88	1,86	1,80	1,77	1,64
	σ neznámá	3,15	2,68	2,46	2,34	2,19	2,10	1,93	1,87	1,64
γ = 0,90	σ známá	2,38	2,29	2,22	2,17	2,10	2,05	1,93	1,88	1,64
	σ neznámá	5,31	3,96	3,40	3,09	2,75	2,57	2,21	2,08	1,64
γ = 0,95	σ známá	2,59	2,47	2,38	2,32	2,23	2,17	2,01	1,95	1,64
	σ neznámá	7,66	5,14	4,20	3,71	3,19	2,91	2,40	2,22	1,64

Tab. 2. Hodnoty součinitele κp a kp pro 5% kvantil a konfidenci

Odhad charakteristické pevnosti podle EN 13791
Nový dokument EN 13791 [2] uvádí postupy pro hodnocení pevnosti betonu v konstrukcích. Rozlišuje postup pro 15 a více zkoušek (postup A) a pro 3 až 14 zkoušek (postup B).

Postup A
Podle postupu A se charakteristická pevnost betonu v konstrukci fck,is stanoví jako menší z hodnot vyplývajících z následujících vztahů:

f_ck,is = f_m(n),is - k₂ . s; f_ck,is = f_{is,nejmenší} + 4 MPa (12)

kde k2 je koeficient podle národní přílohy EN 13791 [2] (pokud není stanoven, počítá se s k2 = 1,48) a fis,nejmenší je minimální hodnota získaná ze zkoušek. Výběrová směrodatná odchylka s nemá být menší než 2 MPa.

Postup B
V případě 3 až 14 zkoušek se charakteristická hodnota pevnosti fck,is stanoví jako menší hodnota získaná ze vztahů:

f_ck,is = f_m(n),is - k; f_ck,is = f_{is,nejmenší} + 4 MPa (13)

kde k je součinitel uvedený v tabulce 3 pro tři intervaly počtu zkoušek n. Nespojitost součinitele k vede k nespojitosti odhadu charakteristické pevnosti fck,is v závislosti na n.

Postupy A a B z EN 13791 [2] pro stanovení charakteristické pevnosti betonu v konstrukcích jsou obdobné jako postupy přijaté v normě ČSN EN 206-1 [6], která se však zaměřuje na odlišnou úlohu - kontrolu shody při výrobě betonu. Je patrné, že postupy A a B z EN 13791 [2] se liší od obecných postupů v ČSN EN 1990 [1] platné pro libovolný materiál. Následující rozbor je zaměřen na porovnání obou postupů a naznačení možných rozdílů, které mohou být významné v praktických aplikacích.

n	k
10 - 14	5
7 - 9	6
3 - 6	7

Tab. 3. Součinitel k v MPa v závislosti na počtu zkoušek n

Porovnání postupů v ČSN EN 1990 a EN 13791
Postup A
Pro n = 15 a neznámý variační koeficient (směrodatnou odchylku) lze postupy podle EN 13791 [2] (postup A) a ČSN EN 1990 [1] zjednodušeně porovnat za předpokladu, že ve vztahu (12) rozhoduje první rovnice. Očekávaný rozdíl mezi charakteristickými hodnotami E(Dfck,is) se získá ze vztahu:

E(Df_ck,is) = f_ck,is(12) - f_ck,is(4) = (-1,48 + k_n) . E(s) = (-1,48 + k_n) . c . σ (14)

kde E(s) značí očekávanou hodnotu výběrové směrodatné odchylky, σ je směrodatná odchylka základního souboru a konstanta c (označovaná v odborné literatuře někdy jako c4) je stanovena podle příručky [14]:

(15)

kde Γ(⋅) je gama funkce.
Pro odhad podle ČSN EN 1990 [1] s využitím vztahu (4) se součinitel kn stanoví z tabulky 1 nebo ze vztahu (6). Pro 15 zkoušek platí kn = 1,82. V případě, že je směrodatná odchylka souboru σ = 5 MPa, pak rozdíl podle vztahu (14) vychází E(Dfck,is) = 1,67 MPa. S pravděpodobností přibližně 0,085 však rozhoduje druhý vztah (10), a proto je průměrný rozdíl poněkud nižší než předpokládaná hodnota E(Dfck,is) » 1,6 MPa. Ověření prostřednictvím simulací výsledků zkoušek naznačuje obr. 1. Předpokládá se, že základní soubor pevnosti betonu v tlaku má normální rozdělení s průměrem 30 MPa a směrodatnou odchylkou 5 MPa (běžné charakteristiky podle dokumentu JCSS [7]). Provádí se celkem 100 simulací souborů zkoušek - každý soubor se skládá z 15 nezávislých hodnot výsledků zkoušek. Obr. 1 naznačuje, že pro n = 15 jsou charakteristické hodnoty stanoveny podle EN 13791 [2] větší přibližně o 1,5 MPa a mají poněkud větší rozptyl než hodnoty podle ČSN EN 1990 [1]. Přibližně s pravděpodobností 0,016 je charakteristická hodnota stanovená podle EN 13791 [2] menší než hodnota podle ČSN EN 1990 [2] (simulace číslo 67 a 73 - případy, kdy ve vztahu (12) rozhoduje druhá rovnice). Pro větší počet zkoušek, n > 15, se rozdíl mezi charakteristickými pevnostmi E(Dfck,is) snižuje. Pro vysoké hodnoty n (přibližně pro n > 70) nabývá očekávaný rozdíl E(Dfck,is) záporných hodnot, protože ve vztahu (11) rozhoduje druhá rovnice již s pravděpodobností 0,55. Takový počet zkoušek ovšem není v praktických aplikacích obvyklý.

Postup B
Porovnání postupu B podle EN 13791 [2] a postupu podle ČSN EN 1990 [1] je provedeno s využitím simulačních metod. Předpokládá se opět beton s průměrnou pevností 30 MPa a směrodatnou odchylkou 5 MPa. Provádí se celkem 100 simulací souborů zkoušek - každý soubor se v tomto případě skládá ze 7 nezávislých hodnot výsledků zkoušek, n = 7. Obr. 2 ukazuje výsledky simulací. Očekávaný rozdíl charakteristických hodnot je přibližně E(Dfck,is) ≈ 4 MPa. To je hodnota více než dvakrát větší než při použití postupu A pro n = 15. Přibližně s pravděpodobností 0,080 je charakteristická hodnota pevnosti určená pomocí EN 13791 [2] opět menší než hodnota podle ČSN EN 1990 [1]. Očekávaný rozdíl charakteristických hodnot pevností podle EN 13791 [2] a ČSN EN 1990 [1] v závislosti na počtu zkoušek n uvádí obr. 3. Pro každé n se provádí 1000 simulací souborů výsledků zkoušek pevnosti betonu s průměrem 30 MPa a směrodatnou odchylkou 5 MPa. Obr. 3 ukazuje, že charakteristická pevnost podle EN 13791 [2] je pro uvedené počty zkoušek n větší než hodnoty podle ČSN EN 1990 [1]. Navíc je větší než 5% kvantil normálního rozdělení (základního souboru) 21,78 MPa naznačený na obr. 3 čárkovanou vodorovnou čárou. Pro n < 15 je patrná nespojitost očekávaných charakteristických pevností stanovených podle EN 13791 [2]. Při snížení počtu zkoušek z n = 15 na n = 14 se charakteristická pevnost podle EN 13791 [2] zvýší v průměru o 3 MPa. Tento alarmující a nelogický nárůst pevnosti je způsobený nespojitostí charakteristických hodnot podle postupů A a B v EN 13791 [2], jak vyplývá ze vztahů (12) a (13) a z tabulky 3 (stupňovitá závislost součinitele k na počtu zkoušek n). Pro velmi malý počet zkoušek n = 3, 4 a 5 narůstá očekávaný rozdíl E(Dfck,is) téměř až na 8 MPa. Obr. 3 také ukazuje, že pro n > 4 jsou charakteristické hodnoty podle předpovědní metody poněkud vyšší než hodnoty stanovené pokryvnou metodou s konfidencí 0,75 (viz například dokumenty ISO 12491 [4] a ISO 3207 [15]). Konfidence předpovědní metody tedy pro n > 4 klesá pod 0,75. Pokryvná metoda s konfidencí 0,90 vede k významně konzervativnějším odhadům. Konfidence 0,75 se zpravidla doporučuje pro běžné stavby, zatímco konfidence 0,90 nebo 0,95 se často uvažuje pro významné stavby, jak uvádí článek [16]. Postupy podle ČSN EN 1990 [1] a EN 13791 [2] byly využity při hodnocení vzorků získaných při průzkumech stanice metra. Výsledky potvrzují, že odhady podle EN 13791 [2] jsou většinou na straně nebezpečné, v ojedinělých případech však mohou být na straně bezpečné. Výsledky dalších simulací ukazují, že se zvyšujícím se variačním koeficientem pevnosti narůstá očekávaný rozdíl mezi odhady podle ČSN EN 1990 [1] a EN 13791 [2].

¤ Obr. 1. Charakteristické pevnosti betonu podle EN 13791 [2] a ČSN EN 1990 [1] v MPa pro n = 15 (průměr základního souboru 30 MPa, směrodatná odchylka 5 MPa)

¤ Obr. 2. Charakteristické pevnosti betonu podle EN 13791 [2] a ČSN EN 1990 [1] v MPa pro n = 15 (průměr základního souboru 30 MPa, směrodatná odchylka 5 MPa)

¤ Obr. 3. Charakteristické pevnosti betonu v MPa v závislosti na počtu zkoušek n (průměr základního souboru 30 MPa, směrodatná odchylka 5 MPa)

Praktický příklad
Postupy podle ČSN EN 1990 [1] a EN 13791 [2] byly využity při hodnocení vzorků získaných při průzkumech stanice pražského metra Florenc. Tabulka 4 ukazuje krychelné pevnosti získané z deseti zkušebních vzorků odebraných z vnější stěny kolejiště.

55,0

59,7

55,4

58,1

60,1

52,1

50,4

46,4

53,5

55,3

Tab. 4. Krychelné pevnosti [MPa]

Podle vztahů (1) až (3) je výběrový průměr 54,60 MPa, směrodatná odchylka 4,244 MPa a variační koeficient 0,078. Podle EN 13791 [2] se pro deset zkoušek stanoví charakteristická hodnota pevnosti fck,is jako menší hodnota získaná ze vztahů (13), kde k = 5 podle tabulky 3:

f_ck,is = f_m(n),is - k = 54,60 - 5 = 49,6 MPa f_ck,is = f_{is,nejmenší} + 4 MPa = 46,4 + 4 MPa = 50,4 MPa (16)

V uvažovaném případě je tedy charakteristická hodnota 49,6 MPa.Podle ČSN EN 1990 [1] se pro neznámý variační koeficient V a deset zkoušek nejprve stanoví z tabulky 1 součinitel kn = 1,92. Za předpokladu normálního rozdělení se následně odhadne charakteristická hodnota podle vztahu (4). V daném případě je potřeba upozornit, že V je neznámý a odhaduje se výběrovým variačním koeficientem V = 0,078, který ale nemá být menší než 0,1. V příkladu se tedy uvažuje V = 0,1.

f_ck,is = f_m(n),is (1 - k_n . V) = 54,60 . (1 - 1,92 . 0,1) = 44,1 MPa (17)

Charakteristická pevnost podle EN 13791[2] je tedy vyšší (na nebezpečné straně). Rozdíl mezi oběma odhady činí 5,5 MPa a odpovídá výsledkům simulací. Rozbory dalších zkoušek potvrzují, že odhady podle EN 13791 [2] jsou většinou na straně nebezpečné, v ojedinělých případech však mohou být na straně bezpečné.

Závěrečné poznámky
Při ověřování spolehlivosti existujících železobetonových konstrukcí se při odhadu charakteristické hodnoty pevnosti betonu obvykle uplatňují statistické metody. Nový dokument EN 13791 [2] uvádí postup odhadu charakteristické hodnoty pevnosti betonu v konstrukcích pro normální rozdělení za předpokladu apriorně neznámého variačního koeficientu. Tento postup se však liší od postupů doporučených v ČSN EN 1990 [1] pro navrhování konstrukcí z libovolného materiálu na základě zkoušek. Numerická studie pro základní soubor s normálním rozdělením o průměru 30 MPa a směrodatné odchylce 5 MPa naznačuje, že charakteristické hodnoty stanovené podle EN 13791 [2] jsou významně větší než hodnoty stanovené podle zásad ČSN EN 1990 [1] (pro počet zkoušek mezi 6 až 14 o přibližně 3 MPa). S klesajícím počtem zkoušek roste rozdíl mezi oběma postupy až na 8 MPa. Postup doporučený v EN 13791 [2] vede navíc k nespojitým hodnotám charakteristických pevností v závislosti na počtu zkoušek. Ukazuje se, že je nutné provést sjednocení postupů daných v EN 13791 [2] s postupy materiálově nezávislého dokumentu ČSN EN 1990 [1]. V případě hodnocení existujících konstrukcí se doporučuje použití postupů doporučených v ČSN EN 1990 [1] nebo v případě významných stavebních konstrukcí použít pokryvnou metodu s konfidencí 0,90 nebo 0,95.

Příspěvek byl vypracován v rámci řešení projektu GAČR 103/09/0693 Hodnocení bezpečnosti a rizik technických systémů podporovaného Grantovou agenturou České republiky.

Použitá literatura
[1] ČSN EN 1990 Eurokód: Zásady navrhování konstrukcí, ČNI, 2004
[2] EN 13791 Assessment of in-situ compressive strength in structures and precast concrete components, CEN, 2007
[3] ČSN ISO 13822 Zásady navrhování konstrukcí - Hodnocení existujících konstrukcí, ČNI, 2005
[4] ISO 12491 Statistical methods for durability control of building materials a components, ISO, 1997
[5] ISO 2394 General principles on reliability for structures, ISO, 1998. Zavedená v ČR jako ČSN ISO 2394 Obecné zásady spolehlivosti konstrukcí, ČNI, 2003
[6] ČSN EN 206-1 Beton - Část 1: Specifikace, vlastnosti, výroba a shoda, ČNI, 2001
[7] Probabilistic Model Code. JCSS, 2001. http://www.jcss.ethz.ch
[8] Holický, M. et al.: Příručka pro hodnocení existujících konstrukcí. Nakladatelství ČVUT v Praze, listopad 2007, http://www.konstrukce.cvut.cz
[9] Holický, M., Marková, J.: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, ČVUT v Praze, 2005
[10] Gulvanessian, H., Holický, M.: Designers’ Handbook to Eurocode 1. London: Thomas Telford, 1996
[11] Vorlíček, M., Holický, M., Špačková, M.: Pravděpodobnost a matematická statistika pro inženýry, ČVUT v Praze, 1984
[12] Taerwe, L.: The Influence of Autocorrelation on OC-lines of Compliance Criteria for Concrete Strength, Materials a Structures, 1987, roč. 20, s. 418-427
[13] Taerwe, L.: Serial Correlation in Concrete Strength Records. In Special Publication ACI SP-104, Lewis H. Tuthill International Symposium on Concrete a Concrete Construction, Detroit, 1987, s. 223-240
[14] Wadsworth, H. M. (jr.).: Handbook of statistical methods for engineers and scientists (2nd ed.), New York: McGraw-Hill, 1998
[15] ISO 3207 Statistical interpretation of data - Determination of a statistical tolerance interval, ISO, 1975
[16] Holický, M., Vorlíček, M.: Distribution Asymmetry in Structural Reliability. Acta Polytechnica, 1995, roč. 35, čís. 3, s. 75-85
[17] Likeš, J., Laga, J.: Základní statistické tabulky, Praha: SNTL, 1978
[18] Vorlíček, M.: Odhad mezní hodnoty z malého počtu měření, Stavebnický časopis, 1989, roč. 37, čís. 8, s. 567-587